附 録
$\S\ 55.$ 両面イデヤル，両面類
$\boldsymbol{1.}$ 二次不定方程式\[ax^2+bxy+cy^2=k\]の解法において，$\mathrm{N}\left(J\right)=\left|k\right|$ なるイデヤル $J$ に関して\[AJ=\left(\alpha\right),\hphantom{1}\frac{N\left(\alpha\right)}{k}\gt0\]なるときは $J$ から方程式の解が得られるのであるが（$\S\ 49$），もしも $J$ と共軛な $J^\prime$ に関しても解があるならば\[AJ^\prime=\left(\beta\right),\hphantom{1}\frac{N\left(\beta\right)}{k}\gt0.\]したがって\[A^\prime J^\prime=\left(\alpha^\prime\right)\]から\[A^\prime=\frac{\alpha^\prime}{\beta}\hspace{0.7mm}\cdotp A,\hspace{1cm}N\left(\frac{\alpha^\prime}{\beta}\right)\gt0\]を得る．すなわち共軛イデヤル $A$，$A^\prime$ が狭義において対等である．よって二次不定方程式の解法に関して次の点に注意すべきである．
イデヤル $A=\left[a,\hphantom{1}\dfrac{b+\sqrt{d}}{2}\right]$ がその共軛 $A^\prime$ と狭義において対等でない場合には，イデヤル $J$ から $AJ=\left(\alpha\right)$ によって解を得たときには，共軛イデヤル $J^\prime$ からは解は得られないから，それを試みる必要はない．
$A$ と $A^\prime$ とが狭義において対等で，$\rho A^\prime=A$ であるときには，$AJ=\left(\alpha\right)$ から解を得たとすれば ${AJ}^\prime=\left(\beta\right)$，$\beta=\alpha^\prime\rho$ からも解が得られる．$J$ から解が得られないならば，$J^\prime$ から解は得られないから，それを試みる必要はない．
これによって或るイデヤルとその共軛イデヤルとの対等の問題を考察する必要が生じ，そこから次に述べる両面類（ambige Klasse）の概念が構成されるに至ったのである．
$\boldsymbol{2.}$ 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ のイデヤル $J$ がその共軛 $J^\prime$ に等しいとき（$J=J^\prime$），それを両面イデヤル（ambiges Ideal）という．
判別式 $d$ が $t$ 個の相異なる素因数 $l_1$，$l_2$，$\cdots l_t$ を含むとき，それらの有理素数 $l_a$ は $l_a=L_aL_a{}^\prime$，$L_a=L_a{}^\prime$ のように分解される．これらがすなわち素なる両面イデヤルである．原始（有理因数のない）両面イデヤルは $L_\alpha L_\beta L_\gamma\cdots$（$\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\cdots$）のような $2^t$ 個の積（$1$ をも含めて）である．
イデヤルの類（広義または狭義）がその共軛類（逆の類）と一致するとき，それを（広義または狭義の）両面類という．
両面イデヤルを含む類はもちろん両面類である．
$J=J^\prime$ が両面イデヤルで $A=\alpha J$ が $J$ と対等ならば，$A^\prime=\alpha^\prime J^\prime=\alpha^\prime J$ から $A^\prime=\left(\alpha^\prime/\alpha\right)A$ すなわち $A^\prime\sim A$．かつ $N\left(\alpha^\prime/\alpha\right)=1\gt0$ だから $A$ は狭義における両面類に属するのである．
さてその逆はどうであろうか．もしも狭義の類別によるならば，解決は簡単明瞭である．すなわち次の定理が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 2}$〕 狭義でいえば，二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ における両面類の数は $2^{t-1}$ で，それらは両面イデヤル $L_\alpha L_\beta L_\gamma\cdots$（$\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\cdots$）によって代表される．これらの $2^t$ 個の両面イデヤルは二つずつ互いに対等で，半数 $2^{t-1}$ の両面類を生ずるのである．
〔証〕 証明を三段に分けて，第一に上記 $2^t$ の両面イデヤルの中に，$1$ 以外に主類に属するものがあることを示そう．それを\[J_0=L_\alpha L_\beta\cdots L_\gamma=\left(\alpha\right),\hphantom{1}N\left(\alpha\right)\gt0\]とするならば，\[J=L_\mu L_\nu\cdots L_\rho\hphantom{L_\rho}\left(\mu\neq\nu\cdots\neq\rho\right)\]を両面イデヤルとするとき $J_0J=L_\alpha L_\beta\cdots L_\lambda L_\mu L_\nu\cdots L_\rho\sim J$．故に $L_\alpha$，$L_\beta\cdots$，$L_\lambda$ と $L_\mu$，$L_\nu$，$\cdots$，$L_\rho$ との間に共通の $L$ があるならば $L^2=\left(l\right)$ を用いて $J_0J$ からそれらの平方因子を除けばそのあとに残る $L_{\mu^\prime}L_{\nu^\prime}\cdots$ は $J$ と対等である．このように $2^t$ の両面イデヤルが二つずつ同類に属するから，両面イデヤルからは多くとも $2^{t-1}$ の両面類が生ずる．
さて上記 $J_0$ のようなイデヤルの存在することは容易に示される．まず虚の二次体または $N\left(\varepsilon\right)=-1$ なる単数を含む実の二次体において，$m\equiv1$ または $\equiv2\ \left(\text{mod}.\ 4\right)$ ならば，$L_1L_2\cdots L_t=\left(\sqrt{m}\right)$ であるから，$J_0=L_1L_2\cdots L_t$ が主類に属する．また $m\equiv3\left(\text{mod}.\ 4\right)$ ならば，$2=L_1{}^2$ として，それを除けば\[L_2L_3\cdots L_t=\left(\sqrt{m}\right)，\ 故に\ J_0=L_2L_3\cdots L_t\sim1.\] 次に実二次体の基本単数 $\varepsilon$ のノルムが $+1$ であるときには，$N\left(\sqrt{m}\right)=-m\lt0$ だから，上記の $L_1L_2\cdots L_t$ または $L_2\cdots L_t$ は主類に属しないが，この場合には ${\varepsilon\varepsilon}^\prime=1$ から（ただし $\varepsilon\gt0$ とする）\[\varepsilon=\frac{1+\varepsilon\hphantom{^\prime}}{1+\varepsilon^\prime}\]を得る．故に $1+\varepsilon=rJ_0$ と置いて $J_0$ を原始イデヤルとすれば，$J_0=L_\alpha L_\beta\cdots$，$N\left(1+\varepsilon\right)\gt0$，$J_0\sim1$．ここで $J_0\neq1$（もしも $J_0=1$ ならば $1+\varepsilon=r\eta$ で $\eta$ は単数でなければならないが，しからば $\varepsilon=\eta/\eta^\prime=\eta^2$ になって $\varepsilon$ が基本単数であるという仮定にもとる）．
例えば $K\left(\sqrt{15}\right)$ において $d=60$，$t=3$，いま $2=L_1{}^2$，$3=L_2{}^2$，$5=L_3{}^2$，とすれば，\[\varepsilon=4+\sqrt{15},\hphantom{n}1+\varepsilon=5+\sqrt{15}=L_1L_3.\]よって\[1\sim L_1L_3,\hphantom{1}L_1\sim L_3,\hphantom{1}L_1L_2\sim L_2L_3=\sqrt{15},\hphantom{1}L_2\sim L_1L_2L_3=\sqrt{15}L_1.\] 第二に上記の $2^{t-1}$ の両面類は実際相異なることを示そう．上記 $2^t$ の両面イデヤルが二つずつ対等であることは前に述べたが，もしもかりに $J_1\sim J_2\sim J_3$ とすれば $J_1{}^2\sim J_1J_2\sim J_1J_3$ で $J_1{}^2\sim1$ であるから，$J_1J_2$，$J_1J_3$ から平方因子を除けば，$J\sim1$ なる両面イデヤルが $1$ のほかに少なくとも二つあることになる．いま\[J=L_\alpha L_\beta\cdots=\left(\alpha\right),\hphantom{N}N\left(\alpha\right)\gt0\]とすれば，$J^\prime=J$ から，$\alpha^\prime=\eta\alpha$ で，$\eta$ は単数である．
虚の二次体においては $\eta=\pm1$（ $K\left(i\right)$，$K\left(\sqrt{-3}\right)$ では $t=1$，$h=1$ で，定理は明白）．$\eta=1$ ならば $\alpha=\alpha^\prime$ で，$\alpha$ は有理数，したがって，$J=L_\alpha L_\beta\cdots=1$，また $\eta=-1$ ならば $\alpha^\prime=-\alpha$ で，$\alpha$ は純虚数，したがって $J=L_\alpha L_\beta\cdots=\left(\sqrt{m}\right)$ でなければならない．
実二次体において $N\left(\varepsilon\right)=-1$ ならば，$N\left(\alpha\right)\gt0$ から $N\left(\eta\right)\gt0$，故に，$\eta=\varepsilon^{2k}$，したがって $\alpha^\prime=\varepsilon^{2k}\alpha$，$\varepsilon^{\prime k}$ を掛けて\[\varepsilon^k\alpha=\pm\varepsilon^{\prime k}\alpha^\prime.\] もしも $\varepsilon^k\alpha=\varepsilon^{\prime k}\alpha^\prime$ ならば，$\varepsilon^k\alpha$ は有理数，したがって．$J=\left(\alpha\right)=1$．また，もし $\varepsilon^k\alpha=-\varepsilon^{\prime k}\alpha^\prime$ ならば\[\frac{\varepsilon^k\alpha}{\sqrt{m}}=\frac{\varepsilon^{\prime k}\alpha^\prime}{-\sqrt{m}}=r\]は有理数である（$-\sqrt{m}$ は $\sqrt{m}$ の共軛）．したがって $J=\left(\alpha\right)=r\left(\sqrt{m}\right)$ から $J=\left(\sqrt{m}\right)$．
以上，いずれの場合にも，$J\sim1$ なる $J$ は $1$ または第一段に出した $J_0$ に限る．次に $N\left(\varepsilon\right)=1$ ならば，$\eta=\varepsilon^n=\left\{\ \!\!\left(1+\varepsilon\right)/\left(1+\varepsilon^\prime\right)\ \!\!\right\}^n$ から\[\frac{\alpha}{\left(1+\varepsilon\right)^n}=\frac{\alpha^\prime}{\left(1+\varepsilon^\prime\right)^n}=r,\hspace{1cm}\alpha=r\left(1+\varepsilon\right)^n,\]故にこの場合にも $J=\left(\alpha\right)=r\left(1+\varepsilon\right)^n\sim J_0{}^n\sim1$ または $J_0$．
よって $2^t$ の両面イデヤルからは $2^{t-1}$ の両面類が生ずる．
最後に両面類は必ず両面イデヤルを含むことを示そう．
$J$ が両面類に属するとすれば，$J^\prime=\rho J$，$N\left(\rho\right)=+1$．故に $\rho=\left(1+\rho\right)/\left(1+\rho^\prime\right)=\alpha/\alpha^\prime$，ただし $\alpha$ は整数．したがって $\alpha J=\alpha^\prime J^\prime$ で $\alpha J$ は両面イデヤルである．また $\rho$ に $-\rho$ を代用してもよいから，実二次体では $\rho\gt0$ と仮定してよい．しからば $\alpha/\alpha^\prime\gt0$，したがって $N\left(\alpha\right)\gt0$．故に $\alpha J$ は与えられた両面類に属する．
よって定理のすべての部分が証明されたのである．
〔注意〕 広義の類別によれば，$N\left(\varepsilon\right)=+1$ なる実二次体において，両面類が両面イデヤルを含まないこともある．
例えば $K\left(\sqrt{34}\right)$ において $3={PP}^\prime$，$P=\left[3,\ 5+\sqrt{34}\right]$，$P^2=\left(5+\sqrt{34}\right)$，$N\left(5+\sqrt{34}\right)=-9$．故に $P=\dfrac{5+\sqrt{34}}{3}P^\prime$ は広義では両面類に属する．これは主類でない．しかるに両面イデヤル $L_1=\left(6-\sqrt{34}\right)$，$L_2=\left(17-3\sqrt{34}\right)$ は広義においては主類に属する（$2=L_1{}^2$，$17=L_2{}^2$）．
狭義では，両面類は $1$ と $L_2$ で代表される二つで，上記 $P$ は両面類に属しない．$N\left(5+\sqrt{34}\right)\lt0$ だから．
〔問題〕 実二次体において，イデヤル $J=\left[a,\hphantom{r}r+\omega\right]$ が両面類（広義でいう）に属することの鑑別条件は $\theta=\left(r+\omega\right)/a$ の連分数展開の周期の「逆読み」ができることである．
〔注意〕 例えば $K\left(\sqrt{34}\right)$ において $J=\left[2,\hphantom{1}\sqrt{34}\right]$ とすれば\[\theta=\frac{\sqrt{34}}{2}=2+\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{10}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\frac{1}{4}\underset{\Large\cdots}{}\ \underset{\Large\cdots}{}\] で $\left[1,\ 10,\ 1,\ 4\right]$ が周期である．この周期は読みはじめのところをかえて $\left[10,\ 1,\ 4,\ 1\right]$，$\left[1,\ 4,\ 1,\ 10\right]$，$\left[4,\ 1,\ 10,\ 1\right]$ とすることもできる．そうすれば，$\left[1,\ 10,\ 1,\ 4\right]$ と $\left[4,\ 1,\ 10,\ 1\right]$；また $\left[10,\ 1,\ 4,\ 1\right]$ と $\left[1,\ 4,\ 1,\ 10\right]$ とは逆である．これが上記逆読みの意味である．
〔解〕 $\omega^\prime=-\omega$ または $1-\omega$ に従って $J^\prime=\left[a,\hphantom{\omega}-r+\omega\right]$ または $\left[a,\hphantom{\omega}-\left(r+1\right)+\omega\right]$．よって $\psi=\left(-r+\omega\right)/a$ または $\psi=\left(-\left(r+1\right)+\omega\right)/a$ とおけば，$\psi=-\theta^\prime$．さて $J=\rho J^\prime$ ならば $\theta$ と $\psi$ と，したがって $\theta$ と $\theta^\prime$ とが対等である（定理 $5.\ 27$）．
いま $\theta$ の連分数展開において終項として出てくる簡約された数を $\theta_0$ ，その展開の周期を $\left[k_0,\ k_1,\ \ldots,\ k_{n-1}\right]$ とすれば，$-1/\theta_0{}^\prime$ の展開の周期は $\left[k_{n-1},\ k_{n-2},\ \ldots,\ k_1,\ k_0\right]$ である（$207$ 頁，問題 $3$）．さて $\theta$ と $\theta_0$ とは対等であるから，$\theta^\prime$ と $\theta_0{}^\prime$ とも対等，また $\theta_0{}^\prime$ は $-1/\theta_0{}^\prime$ と対等であるが，仮定によって $\theta$ と $\theta^\prime$ とが対等であるから，$\theta_0$ と $-1/\theta^\prime{}_0$ とが対等で，したがってその展開はついには一致する．故に周期 $\left[k_0,\ k_1,\ \ldots,\ k_{n-1}\right]$ は逆読みができるのである．
また周期の逆読みができるならば，$\theta_0$ と $-1/\theta_0{}^\prime$ とが対等，したがって $\theta_0$ と $\theta_0{}^\prime$ と，したがって $\theta$ と $\theta^\prime$ と，よってまた $\theta$ と $\psi$ とが対等で，$J$ と $J^\prime$ とが対等，すなわち $J$ は両面類に属する．
上記 $K\left(\sqrt{34}\right)$ における $\left[2,\ \sqrt{34}\right]$ は両面イデヤルである．前に例に出した $J=\left[3,\hphantom{1}5+\sqrt{34}\right]$，（$3={JJ}^\prime$）では $\theta=\dfrac{5+\sqrt{34}}{3}=3+\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{1}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{3}\raise{0.2em}{\underset{\Large+}{}}\dfrac{1}{\theta}$．この周期も逆読みができるから $J$ は両面類に属する．ここでは，$-1/\theta^\prime=\theta$，故に $\psi=-\theta^\prime=1/\theta$．$\theta$ と $\psi$ とは非正式対等，したがって $J=\rho J^\prime$ における $\rho=\theta^\prime$ で $N\left(\rho\right)=-1$ は負である．故に $J$ は広義においてのみ両面類に属する．
$\boldsymbol{3.}$ 上文 $\boldsymbol{2}$ に述べた定理から二次体におけるイデヤルの類の数 $h$（狭義）に関して次の結論が得られる．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 3}$〕 二次体 $K\left(\sqrt{m}\right)$ において $t=1$ であるのは，$K\left(i\right)$，$K\left(\sqrt{\pm2}\right)$ および $K\left(\sqrt{\pm p}\right)$，（$p$ は素数で $\pm p\equiv1\hphantom{4}\left(\text{mod}.\ 4\right)$）に限る．これらの場合には $h$ は奇数である．
この場合，実二次体では $N\left(\varepsilon\right)=-1$（$\S\ 47$，問題 $5$）．故に $h$ は広義でも狭義でも同一である．
〔証〕 上記の二次体では主類以外に両面類がないから，主類だけを除けば，各類とその逆の類とが相異なる類である．故に $h$ は奇数である．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 4}$〕 狭義でいえば，類の数 $h$ は $2^{t-1}$ で割り切れる．
〔証〕 両面類を $\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_\tau$ とする．$\tau=2^{t-1}$．
両面類の積 $\mathrm{A}_\alpha\mathrm{A}_\beta$ は両面類である（$\mathrm{A}_\alpha{}^\prime\mathrm{A}_\beta{}^\prime=\mathrm{A}_\alpha\mathrm{A}_\beta$）．また $\mathrm{A}_\alpha=\mathrm{A}_\beta\mathrm{A}$ とすれば $\mathrm{A}=\mathrm{A}_\alpha\mathrm{A}_\beta{}^\prime=\mathrm{A}_\alpha\mathrm{A}_\beta$．したがって $\mathrm{A}$ は両面類である．
よって $\mathrm{C}$ を両面類以外の任意の類とすれば\[\mathrm{CA}_1,\hphantom{1}\mathrm{CA}_2,\ \cdots,\hphantom{1}\mathrm{CA}_\tau\]は相異なる $\tau$ 類であるが，これらの中に，もちろん両面類はない．両面類およびこれらの $\tau$ 類 $\mathrm{CA}$ 以外に類が残っているとして，その一つを $\mathrm{C}_1$ とすれば\[\mathrm{C}_1\mathrm{A}_1,\hphantom{1}\mathrm{C}_1\mathrm{A}_2,\ \cdots,\ \mathrm{C}_1\mathrm{A}_\tau\]なる $\tau$ 類は両面類でもなく，また上記 $\mathrm{CA}$ のような $\tau$ 類とも全く異なる類である．なぜならば，もしも $\mathrm{CA}_\alpha=\mathrm{C}_1\mathrm{A}_\beta$ とすれば，$\mathrm{C}_1=\mathrm{C}_1\mathrm{A}_\beta{}^2=\mathrm{CA}_\alpha\mathrm{A}_\beta=\mathrm{CA}_\gamma$ になるから仮定に反する．このようにして，すべての $h$ 類を $\tau$ ずつの組に分けることができるから，$h$ は $\tau$ の倍数でなければならない．故に $h$ は $2^{t-1}$ で割り切れる．
〔定理 $\boldsymbol{6.\ 5}$〕 類 $\mathrm{C}$ の平方なる類 $\mathrm{C}^2$ の数は $h/2^{t-1}$ である．
〔証〕 上記両面類 $\mathrm{A}$ の平方 $\mathrm{A}^2$ は主類であるから，\[\mathrm{CA}_1,\hphantom{1}\mathrm{CA}_2,\ \cdots,\hphantom{1}\mathrm{CA}_\tau\]のような $\tau$ 類の平方は，みな $\mathrm{C}^2$ に等しい．逆に $\mathrm{C}_1=\mathrm{CA}$ とおくとき，$\mathrm{C}^2=\mathrm{C}_1{}^2$ ならば，$\mathrm{A}^2=\mathrm{E}$，したがって $\mathrm{A}^\prime=\mathrm{A}$，すなわち $\mathrm{A}$ は両面類でなければならない．故に定理 $6.\ 4$ で述べたように，すべての $h$ 類を上記のような $\tau$ 類ずつの $h/2^{t-1}$ 組に分けるならば，各組に属する類の平方だけが同じ類になって，結局平方類の数が $h/2^{t-1}$ に等しいのである．
平方類を\[\mathrm{H}_1,\ \mathrm{H}_2,\ \cdots,\ \mathrm{H}_g,\hspace{1cm}g=\frac{h}{2^{t-1}}\]とする．平方類の逆もまた積も平方類であることに基づいて，すべての $h$ 類を重複なく\[\mathrm{CH}_1,\ \mathrm{CH}_2,\ \cdots,\ \mathrm{CH}_g\]のような $g$ ずつの $2^{t-1}$ 組に分けることができる．このような $g$ ずつの類の組を種（Geschlecht，genus）という．
特に平方類を主なる種（Hauptgeschlecht，principal genus）という．
$h$ が類の数，$2^{t-1}$ が種の数で，おのおのの種が $g=h/2^{t-1}$ ずつの類から成り立つ．
二つのイデヤル $A$，$B$ が同一の種に属するのは\[B\sim AJ^2\]なるイデヤル $J$ があるときである．
〔例〕 $K\left(\sqrt{-65}\right)$．$d=-2^2\hspace{0.7mm}\cdotp5\hspace{0.7mm}\cdotp13$．$t=3$，$2^{t-1}=4$．$h=8$ でそれらは\[\mathrm{E},\ \mathrm{A},\ \mathrm{A}^2,\ \mathrm{A}^3,\ \mathrm{B},\ \mathrm{BA},\ \mathrm{BA}^2,\ \mathrm{BA}^3\]（$\mathrm{A}^4=\mathrm{E}$，$\mathrm{B}^2=\mathrm{E}$）で表わされる（巻末の表，参照）．$\mathrm{E}$，$\mathrm{A}^2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{BA}^2$ が両面類でその平方はもちろん主類である．他の四類 $\mathrm{A}$，$\mathrm{A}^3$，$\mathrm{BA}$，$\mathrm{BA}^3$ の平方は $\mathrm{A}^2$ に等しい．故に平方類は $\mathrm{E}$，$\mathrm{A}^2$ の二つで，それらが主なる種である．よって四つの種は\[\mathrm{E},\hphantom{1}\mathrm{A}^2;\hspace{5mm}\mathrm{A},\hphantom{1}\mathrm{A}^3;\hspace{5mm}\mathrm{B},\hphantom{1}\mathrm{BA}^2;\hspace{5mm}\mathrm{BA},\hphantom{1}\mathrm{BA}^3.\]