付 録
（一） 無 理 数 論
$9.$ 実数の集合の一つの性質
有理数の全部には番号が付けられる（可算，可付番，abzählbar$*$$\ ^*\ $abzählbar（かずがよめる）は Georg Cantor の造語である．それの英訳は denumerable，フランス語訳は dénombrable．「可付番」は良い日本語というものではないだろうが，慣用されていた．）．番号といってもそれは大小の順序とは無関係である．$――$有理数に大小の順序に従って番号を付けることは，稠密性が許さない．正の有理数を自然数の商として $\dfrac{n}{m}$ の形に書いて，それに平面上の格子点 $\left(m,\ n\right)$ を対応させるならば，それらの格子点に$\S50$ に述べたようにして，番号が付けられる．同一の有理数に無数の格子点が対応するけれども，重複するものを除いて番号を繰り上げればよい．例えば$\S50$，右の図のようにすれば，番号順は次のようになる．\[\frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \frac{1}{5},\ \frac{5}{1},\ \cdots\] 正の有理数に $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$ のように番号が付けば，$0$ および負の有理数をも入れて，例えば\[0,\ a_1,\ -a_1,\ a_2,\ -a_2,\ \cdots\]のようにして，全ての有理数の順番が決められる．
すると，実数の全体に関しては，たとえそれを一定の区間内に限っても，決して漏れなく番号を付けることは出来ない．それを手軽に証明するために，仮に区間を $\left(0,\ 1\right)$ として，区間内の全ての実数に $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$，$\cdots$ のように番号が付けられたと仮定して，これらの実数を十進法で表して\begin{eqnarray*}\alpha_1&&=0\hspace{0.15em}\cdotp{c_1}^{\left(1\right)}{c_2}^{\left(1\right)}\cdots{c_n}^{\left(1\right)}\cdots,\\\alpha_2&&=0\hspace{0.15em}\cdotp{c_1}^{\left(2\right)}{c_2}^{\left(2\right)}\cdots{c_n}^{\left(2\right)}\cdots,\\\cdots&&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots,\\\alpha_n&&=0\hspace{0.15em}\cdotp{c_1}^{(n)}{c_2}^{(n)}\cdots{c_n}^{(n)}\cdots,\\\cdots&&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{eqnarray*}とおいてみる．ただし，十進数として二通りに書かれるものは，正規の記法を取ることとする（$0.5000\cdots$ のように書いて，$0.4999\cdots$ のようには書かない）．
さて上記のような表が与えられているとき，その表に漏れている数が区間 $\left(0,\ 1\right)$ に必ずあることが，次のようにして示される．十進法で\[\alpha=0.c_1c_2\cdots c_n\cdots\]とおいて，数字 $c_1$，$c_2$，$\cdots$ を次のようにきめる．すなわち各々の位 $n$ に関して $\alpha_n$ の数字 ${c_n}^{(n)}$ が偶数（$0$ をも含めて言う）ならば $c_n=1$，また ${c_n}^{(n)}$ が奇数ならば $c_n=2$ とする．そうすれば，$\alpha$ と $\alpha_1$ は第一位の数字が違い，$\alpha_2$ と第二位の数字が違い，一般に $\alpha_n$ と第 $n$ 位の数字が違って，しかも $\alpha$ の数字は $1$ か $2$ かで，$999\cdots$ で終わることはないから，$\alpha$ は $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$，$\cdots$ のどれとも違う．この $\alpha$ は区間 $\left(0,\ 1\right)$ にあるけれども，上記の表にはない．すなわち番号が付いていない．
これがカントールの有名な対角線論法である．
任意の区間 $a\lt x^\prime\lt b$ においても同様である．それを見るには，変換 $x^\prime=a+\left(b-a\right)x$ によって区間 $\left(0,\ 1\right)$ 内の $x$ と $\left(a,\ b\right)$ 内の $x^\prime$ の間に $1-1$ 対応を作ればよい．もしも $\left(a,\ b\right)$ 内の $x^\prime$ に番号が付けきれるならば，$x^\prime$ に対応する $x$ に同じ番号を与えて $\left(0,\ 1\right)$ 内の $x$ に番号を付けてしまえるはずであるが，それは不可能である．
それよりも重要なのは，無理数だけを取っても，すでに番号付けが出来ないことである．$――$ もしもある区間内の全ての無理数に，$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$，$\cdots$ のように，番号が付けられるならば，同じ区間内の有理数に $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ のように番号を付けて，双方を交代に $a_1$，$b_1$，$a_2$，$b_2$，$\cdots$ のように入れ混ぜて，区間内の全ての実数の順番がきめられるであろう．それは不合理である．
大小の順序においては，有理数も無理数も各々稠密にかつ交錯して配列されているが，無理数は圧倒的に濃厚に分布されていると言わなければなるまい．
ここまで来れば，$\sqrt{2}$ などによらないで，無理数の存在が自然に分かるのであった．