カテナリーの長さ

Twitterのとある投稿(答えは $0$)に触発されて細かに計算したものです。
カテナリーの長さを求めます。


カテナリー(Catenary、懸垂線)

\begin{alignat*}{1}y&=a\cosh\frac{x}{a}=a\frac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}\\[2mm]y^\prime&=\frac{e^{x/a}-e^{-x/a}}{2}\end{alignat*}$a$ は原点($x=0$)での値です。


カテナリーの長さを $\ell$ として、$[c,\ d]$ で積分します。\begin{alignat*}{1}\ell&=\int_c^ddx\sqrt{1+{y^\prime}^2}\\[2mm]&=\int_c^ddx\sqrt{1+\left(\frac{e^{x/a}-e^{-x/a}}{2}\right)^2}\\[2mm]&=\int_c^ddx\sqrt{\frac{4+e^{2x/a}-2+e^{-2x/a}}{4}}\\[2mm]&=\int_c^ddx\sqrt{\frac{e^{2x/a}+2+e^{-2x/a}}{4}}\\[2mm]&=\int_c^ddx\sqrt{\frac{\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)^2}{4}}\\[2mm]&=\int_c^ddx\frac{e^{x/a}+e^{-x/a}}{2}\\[2mm]&=\left[a\frac{e^{x/a}-e^{-x/a}}{2}\right]_c^d\\[2mm]&=\frac{a}{2}\left\{\left(e^{d/a}-e^{-d/a}\right)-\left(e^{c/a}-e^{-c/a}\right)\right\}\\[2mm]&=a\left(\sinh\frac{d}{a}-\sinh\frac{c}{a}\right)\end{alignat*}
例)$c=0$、$\ell$ が与えられたときの $d$ を求める。
\begin{alignat*}{1}\ell&=a\left(\sinh\frac{d}{a}-\sinh\frac{0}{a}\right)\\[2mm]&=a\sinh\frac{d}{a}\\[2mm]\frac{\ell}{a}&=\sinh\frac{d}{a}\\[2mm]\operatorname{arsinh}\ \!\frac{\ell}{a}&=\frac{d}{a}\\[2mm]d&=a\operatorname{arsinh}\ \!\frac{\ell}{a}\\[2mm]&=a\ln\left(\frac{\ell}{a}+\sqrt{\frac{\ell^2}{a^2}+1}\right)\end{alignat*}







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