直径を$1:x$に分けたときの円への垂線

Idan Talさんのツイート: Square rootに触発されて計算したものです。
直径を$1:x$に分けたときの円への垂線を求めます。

計算その1\begin{eqnarray*}&&\text{radius}\times\sin\operatorname{Arccos}\frac{\text{radius}-1}{\text{radius}}\\&=&\frac{x+1}{2}\sin\operatorname{Arccos}\frac{\dfrac{x+1}{2}-1}{\dfrac{x+1}{2}}\\&=&\frac{x+1}{2}\sin\operatorname{Arccos}\frac{\dfrac{x-1}{2}}{\dfrac{x+1}{2}}\\&=&\frac{x+1}{2}\sin\operatorname{Arccos}\frac{x-1}{x+1}\\&=&\frac{x+1}{2}\frac{\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(x-1\right)^2}}{x+1}\\&=&\frac{x+1}{2}\frac{\sqrt{4x}}{x+1}\\&=&\sqrt{\vphantom{l}x}\end{eqnarray*}

計算その2\begin{eqnarray*}&&\text{radius}\times\sin\operatorname{Arccos}\frac{\text{radius}-1}{\text{radius}}\\&=&\text{radius}\frac{\sqrt{\text{radius}^2-\left(\text{radius}-1\right)^2}}{\text{radius}}\\&=&\sqrt{2\ \text{radius}-1}\\&=&\sqrt{2\frac{x+1}{2}-1}\\&=&\sqrt{\vphantom{l}x}\end{eqnarray*}

なぜ$\sqrt{\vphantom{l}x}$が出るのか、ピタゴラスの定理から来ていることが分かります。