種々の慣性モーメントの導出・計算
種々の慣性モーメントの導出・計算（棒、長方形、円板、円輪、中空円板、球、球殻、直方体、円柱、中空円柱、半球、楕円形薄板、楕円柱、楕円体、円錐、トーラス、2質点）
の続きです。
慣性モーメント
物体の形状 $V$ と質量密度 $\rho\left(x,y,z\right)$ と回転軸を定めたとき、 \[ I=\int_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\rho\left(x,y,z\right)\ell^2 \] ここで、$\ell$ は点 $\left(x,y,z\right)$ と回転軸との距離。質量密度 $\rho$ は以下の記述では一定。
物体の質量 \[ M=\int_V\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\rho\left(x,y,z\right) \]
中身のつまっている（空洞でない）正四面体
Wiki には Regular tetrahedron に $I_\text{solid}$ と載っています。正四面体の1つの頂点とそれと接しない底面の重心を通る直線を軸とする回転での慣性モーメント。
正四面体の性質を求めておきます。
一辺 $s$ とすると、三平方の定理（ピタゴラスの定理）より、
底面の正三角形の高さ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s$、
底面の正三角形の重心から頂点までの距離 $=\dfrac{s}{\sqrt{3}}$、
それらの差（重心から辺までの距離） $=\dfrac{s}{2\sqrt{3}}$。
正四面体の高さ $=\sqrt{s^2-\left(\dfrac{s}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}s$。
上記より、
高さが $h$ の正四面体の場合、一辺の長さ $=\sqrt{\dfrac{3}{2}}h$、
底面の正三角形の高さ $=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}h$、
底面の正三角形の重心から頂点までの距離 $=\dfrac{h}{\sqrt{2}}$、
それらの差（重心から辺までの距離） $=\dfrac{h}{2\sqrt{2}}$。
底面の正三角形の面積 $=\dfrac{1}{2}s\dfrac{\sqrt{3}}{2}s=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$、
正四面体の体積 $=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2\sqrt{\dfrac{2}{3}}s=\dfrac{\sqrt{2}}{12}s^3$。
密度一定のとき質量 $M=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\rho s^3$。
座標軸の位置を定めます。
$xy$ 平面に底面を置く。
\begin{alignat*}{1} 0\leqq z&\leqq\style{font-family:serif}{\text{四面体の高さ}}\\[2mm] 0\leqq z&\leqq\sqrt{\frac{2}{3}}s \end{alignat*} $x$、$y$ で積分するとき、高さ $h=\sqrt{\dfrac{2}{3}}s-z$ の正四面体の底面を積分する。
底面の正三角形の重心に原点を置き、原点と底面の正三角形の頂点を通る直線と $y$ 軸を一致させ、頂点を $y$ 軸の正の向きに置く。
\[ -\left(\style{font-family:serif}{\text{重心から辺までの距離}}\right)\leqq y\leqq\style{font-family:serif}{\text{重心から頂点までの距離}} \] \begin{alignat*}{1} \style{font-family:serif}{\text{重心から頂点までの距離}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}s-z\right)\\[2mm] &=\frac{s}{\sqrt{3}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\\[2mm] &=\alpha\ \style{font-family:serif}{\text{とする}} \end{alignat*} \[ -\frac{\alpha}{2}\leqq y\leqq\alpha \] $x$ で積分するときは、被積分関数の $x^2+y^2$ が偶関数（正三角形の左半分と右半分で値が同じ）であり、与えられた $y$ に対して
\[ 0\leqq x\leqq\frac{\alpha-y}{\sqrt{3}} \] で積分して $2$ 倍する。
慣性モーメントを計算します。（密度一定の場合）
積分の区間を省略しつつ進めますが、積分は全て定積分です。 \[ I=2\rho\int_0^{\Large\sqrt{\frac{2}{3}}s}dz\int_{-\alpha/2}^\alpha dy\int_0^{\Large\frac{\alpha-y}{\sqrt{3}}}dx\left(x^2+y^2\right) \] \[ \alpha=\frac{s}{\sqrt{3}}-\frac{z}{\sqrt{2}} \] \begin{alignat*}{1} &\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\left[\frac{1}{3}x^3+y^2x\right]_0^{\Large\frac{\alpha-y}{\sqrt{3}}}\\[2mm] &=\frac{1}{3}\left(\frac{\alpha-y}{\sqrt{3}}\right)^3+y^2\frac{\alpha-y}{\sqrt{3}}\\[2mm] &=\frac{\sqrt{3}}{27}\left(\alpha^3-3\alpha^2y+3\alpha y^2-y^3\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\alpha y^2-y^3\right)\\[2mm] &=\frac{\sqrt{3}}{27}\left(-y^3+3\alpha y^2-3\alpha^2y+\alpha^3-9y^3+9\alpha y^2\right)\\[2mm] &=\frac{\sqrt{3}}{27}\left(-10y^3+12\alpha y^2-3\alpha^2y+\alpha^3\right) \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} &\frac{27}{\sqrt{3}}\int dy\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\left[-\frac{5}{2}y^4+4\alpha y^3-\frac{3}{2}\alpha^2y^2+\alpha^3y\right]_{-\alpha/2}^\alpha\\[2mm] &=-\frac{5}{2}\left(\alpha^4-\frac{\alpha^4}{2^4}\right)+4\alpha\left(\alpha^3+\frac{\alpha^3}{2^3}\right)-\frac{3}{2}\alpha^2\left(\alpha^2-\frac{\alpha^2}{2^2}\right)+\alpha^3\left(\alpha+\frac{\alpha}{2}\right)\\[2mm] &=-\frac{5}{2}\frac{15}{16}\alpha^4+4\frac{9}{8}\alpha^4-\frac{3}{2}\frac{3}{4}\alpha^4+\frac{3}{2}\alpha^4\\[2mm] &=\left(-\frac{75}{32}+\frac{9}{2}-\frac{9}{8}+\frac{3}{2}\right)\alpha^4\\[2mm] &=\frac{3}{32}\left(-25+48-12+16\right)\alpha^4\\[2mm] &=\frac{81}{32}\alpha^4 \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} &\frac{32}{3\sqrt{3}}\int dz\int dy\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\int dz\ \alpha^4\\[2mm] &=\int dz\left(\frac{s}{\sqrt{3}}-\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^4\\[2mm] &=\frac{1}{4}\int dz\left(\sqrt{\frac{2}{3}}s-z\right)^4\\[2mm] &=\frac{1}{4}\frac{1}{5}\left[-\left(\sqrt{\frac{2}{3}}s-z\right)^5\right]_0^{\Large\sqrt{\frac{2}{3}}s}\\[2mm] &=\frac{1}{20}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}s\right)^5\\[2mm] &=\frac{1}{20}\frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}s^5 \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} I&=2\rho\frac{3\sqrt{3}}{32}\frac{1}{20}\frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}s^5\\[2mm] &=\frac{\sqrt{2}}{12}\rho s^3\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{1}{20}s^2\\[2mm] &=\frac{1}{20}Ms^2 \end{alignat*}
正 $n$ 角形の薄板、正 $n$ 角柱
Wiki には Plane regular polygon に載っています。正 $n$ 角形の一辺を $s$ とします。
慣性モーメントを求めた後、正 $n$ 角形の重心と頂点の間の距離 $R$ で表します。(Wiki)
薄板も角柱も高さ $h$ とします。
質量密度 $\rho$ は今回も一定とします。
$2$ 枚の正 $n$ 角形の底面の中心を両方通る直線を軸とする回転の慣性モーメント。
隣り合う $2$ 頂点と正 $n$ 角形の中心を頂点とする二等辺三角形で積分して、$n$ 倍する。
二等辺三角形の角度は $\dfrac{2\pi}{n}$ $\biggl($と $2$ 個の $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{n}\biggr)$
$z$ で積分するとき、$0\leqq z\leqq h$。
$y$ で積分するとき、$0\leqq y\leqq\dfrac{s}{2}\cot\dfrac{\pi}{n}$。
$x$ で積分するとき、$0\leqq x\leqq y\tan\dfrac{\pi}{n}$ で、$2$ 倍する。
質量 $M$ \begin{alignat*}{1} M&=\style{font-family:serif}{\text{質量密度}}\times n\times h\times\style{font-family:serif}{\text{二等辺三角形の面積}}\\[2mm] &=n\rho h\frac{1}{2}s\frac{s}{2}\cot\frac{\pi}{n}\\[2mm] &=\frac{nhs^2\rho}{4}\cot\frac{\pi}{n} \end{alignat*} \[ I=2n\rho\int_0^hdz\int_0^{{\Large\frac{s}{2}}\cot\Large\frac{\pi}{n}}dy\int_0^{y\tan\Large\frac{\pi}{n}}dx\left(x^2+y^2\right) \] \begin{alignat*}{1} &\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\left[\frac{1}{3}x^3+y^2x\right]_0^{y\tan\Large\frac{\pi}{n}}\\[2mm] &=\frac{1}{3}\left(y\tan\frac{\pi}{n}\right)^3+y^2y\tan\frac{\pi}{n}\\[2mm] &=y^3\tan\frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{n}+1\right)\\[2mm] \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} &\int dy\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\frac{1}{4}\left[y^4\right]_{\lower{0.1em}0}^{\raise{0.3em}{{\Large\frac{s}{2}}\cot\Large\frac{\pi}{n}}}\tan\frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{n}+1\right)\\[2mm] &=\frac{1}{4}\left(\frac{s}{2}\cot\frac{\pi}{n}\right)^4\tan\frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{n}+1\right)\\[2mm] &=\frac{s^4}{64}\cot^3\frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{n}+1\right) \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} I&=2n\rho h\frac{s^4}{64}\cot^3\frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{n}+1\right)\\[2mm] &=\frac{nhs^2\rho}{2}\cot\frac{\pi}{n}\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{1}{16}s^2\left(\frac{1}{3}+\cot^2\frac{\pi}{n}\right)\\[2mm] &=\frac{1}{8}Ms^2\left(\frac{1}{3}+\cot^2\frac{\pi}{n}\right) \end{alignat*} 正 $n$ 角形の重心と頂点の間の距離を $R$ とすると、$\dfrac{s}{2}=R\sin\dfrac{\pi}{n}$ より \begin{alignat*}{1} I&=\frac{1}{2}MR^2\left(\frac{1}{3}\sin^2\frac{\pi}{n}+\cos^2\frac{\pi}{n}\right)\\[2mm] &=\frac{1}{2}MR^2\left(\frac{1}{3}\sin^2\frac{\pi}{n}+1-\sin^2\frac{\pi}{n}\right)\\[2mm] &=\frac{1}{2}MR^2\left(1-\frac{2}{3}\sin^2\frac{\pi}{n}\right) \end{alignat*}
二等辺三角形
Wiki には isosceles triangle に載っています。上記の正 $n$ 角形の薄板、正 $n$ 角柱の場合とほぼ同じで、角度が $\dfrac{2\pi}{\style{font-family:serif}{\text{整数}}}$ でないことと、最後に $n$ 倍しないこと（といいつつ、質量で表すときに相殺されます）。
（上記の正 $n$ 角形の薄板、正 $n$ 角柱の場合と異なり、二等辺三角形の等しい二辺の長さを用いて計算します。）
二等辺三角形の等しい二辺の長さを $L$ とします。
薄板であっても三角柱であっても高さ $h$ とします。
質量密度 $\rho$ は今回も一定とします。
二等辺三角形の、等しい二辺に挟まれた頂点を通り、二等辺三角形に垂直な直線を軸とする回転の慣性モーメント。
等しい二辺に挟まれた頂点の角度を Wiki にならい $2\beta$ とします。
$z$ で積分するとき、$0\leqq z\leqq h$。
$y$ で積分するとき、$0\leqq y\leqq L\cos\beta$。
$x$ で積分するとき、$0\leqq x\leqq y\tan\beta$ で積分した後、$2$ 倍する。
質量 $M$ \begin{alignat*}{1} M&=\style{font-family:serif}{\text{質量密度}}\times h\times\style{font-family:serif}{\text{二等辺三角形の面積}}\\[2mm] &=\rho h\frac{1}{2}2L\sin\beta L\cos\beta\\[2mm] &=\rho hL^2\sin\beta\cos\beta \end{alignat*} \[ I=2\rho\int_0^hdz\int_0^{L\cos\beta}dy\int_0^{y\tan\beta}dx\left(x^2+y^2\right) \] \begin{alignat*}{1} &\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\left[\frac{1}{3}x^3+y^2x\right]_0^{y\tan\beta}\\[2mm] &=\frac{1}{3}\left(y\tan\beta\right)^3+y^2y\tan\beta\\[2mm] &=y^3\tan\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right)\\[2mm] \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} &\int dy\int dx\left(x^2+y^2\right)\\[2mm] &=\frac{1}{4}\left[y^4\right]_{\lower{0.1em}0}^{L\cos\beta}\tan\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right)\\[2mm] &=\frac{1}{4}\left(L\cos\beta\right)^4\tan\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right)\\[2mm] &=\frac{L^4}{4}\cos^4\beta\tan\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right) \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} I&=2\rho h\frac{L^4}{4}\cos^4\beta\tan\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right)\\[2mm] &=\rho hL^2\sin\beta\cos\beta\hspace{0.7mm}\cdotp\frac{1}{2}L^2\cos^2\beta\left(\frac{1}{3}\tan^2\beta+1\right)\\[2mm] &=\frac{1}{2}ML^2\left(\frac{1}{3}\sin^2\beta+\cos^2\beta\right)\\[2mm] &=\frac{1}{2}ML^2\left(\frac{1}{3}\sin^2\beta+1-\sin^2\beta\right)\\[2mm] &=\frac{1}{2}ML^2\left(1-\frac{2}{3}\sin^2\beta\right) \end{alignat*} この結果を $\dfrac{1}{2}$ 倍すれば、直角三角形の慣性モーメントとなります。（$\beta\neq\pi/2$、斜辺の長さ $L$）