第 $2$ 章 連 分 数
$\S\ 23.$ 一次形式 $\omega x-y$ の最小値
$\omega$ を与えられた無理数として，一次形式 $\omega x-y$ において，変数 $x$，$y$ に整数値のみを与えることにする．しからば，$x=0$，$y=0$ を除けば，$\omega x-y$ は決して $0$ になることはない（$\omega x-y=0$ なら $\omega=y/x$ が有理数であることを要する）．
$\omega$ を連分数に展開して $p_n/q_n$ をその近似分数とすれば，\[\left|\ \!\omega-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac{1}{q_n{}^2},\]すなわち\[\left|\vphantom{\frac{p_n}{q_n}}\ \!\omega q_n-p_n\right|\lt\frac{1}{q_n}\]で，$q_n$ は，$n$ を大きくするとき限りなく増大するから，$\left|\ \!\omega x-y\ \!\right|$ は $x$，$y$ の整数値に対して，いかほどでも小さくできる．すなわち $\omega x-y$ の絶対値に最小のものはないのである．
さりながら，$x$ または $y$ の値を与えられた限界内に止めることにすれば，事情が全く変わる．$x$，$y$ を $-x$，$−y$ に変えれば，$\omega x-y$ はただその符号を変えるのみであるから，$x\geqq0$ の場合だけについて考察することにする．また $x=0$ とすれば，$\omega x-y=-y$ で，その最小絶対値は $1$ であるから，それも問題外として，$x$ には\[0\lt x\leqq A\tag{$\ 1\ $}\]なる限界内の整数値を与えることにする．$A$ はもちろん与えられた一つの整数である．
この条件のもとにおいて，$x$ のおのおのの値に対して，$y$ に適当な整数値を与えて，\[-1\lt\omega x-y\lt1\]とすることができる．$y$ に与えるべき整数値は $\omega x$ をその間にはさむ二つの連続する整数である．
このような $\left|\ \!\omega x-y\ \!\right|$ の値は $x$，$y$ に与える整数値の選択によって著しく小さくなることがあり，またそうでないこともある．そこで $\left(\ 1\ \right)$ に示す範囲内の整数値を $x$ に与えるとき\[\omega x-y\]の絶対値の最小なものを求めようという問題が生ずる．この問題は $\omega$ の連分数展開に密接な関係を有するものである．
〔定理 $\boldsymbol{2.\ 8}$〕 $\omega$ は与えられた無理数，$A$ は与えられた正数で，\[0\lt x\leqq A\tag{$\ 1\ $}\]とするとき：
| 〔第一〕 | $\left|\ \!\boldsymbol{\omega x-y}\right|$ |
〔第二〕 もしも，$\omega x-y$ の正［または負］の値のみを考察するならば，$\boldsymbol{\omega x-y}$ の最小絶対値を与える $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{y}$ の整数値は， $\boldsymbol{\omega}$ の奇数［または偶数］番号の主なる近似分数およびその中間近似分数 $\boldsymbol{r}/\boldsymbol{s}$ の中で $\boldsymbol{A}$ を超えない最大分母を有するものの分母，分子である．すなわち\[x=s,\hphantom{m}y=r\tag{$\ 4\ $}\]で，\begin{alignat*}{1}s=q_{n-1}+\lambda q_n&\leqq A\lt q_{n-1}+\left(\lambda+1\right)q_n,\tag{$\ 5\ $}\\[2mm]0&\leqq\lambda\lt k_n.\tag{$\ 6\ $}\end{alignat*} 〔注意〕 $r/s$ が主なる近似分数である場合には $s=q_{n-1}$，$\lambda=0$．$p_n/q_n$ は $r/s$ とは $\omega$ に関して反対側の主なる近似分数である．したがって上記 $\omega x-y\gt0$ の場合には，$n$ は偶数である［$\omega x-y\lt0$ のときは $n$ は奇数である］．
| 〔証〕 | \[\begin{alignat*}{2}x&=uq_{n-1}&&+vq_n\hspace{1cm}\\[2mm]y&=up_{n-1}&&+vp_n\hspace{1cm}\end{alignat*}\tag{$\ 7\ $}\] |
さて\begin{alignat*}{1}\omega x-y&=u\left(\omega q_{n-1}-p_{n-1}\right)+v\left(\omega q_n-p_n\right)\\[2mm]&=\left(p_n-\omega q_n\right)\left(\frac{-\omega q_{n-1}+p_{n-1}}{\omega q_n-p_n}u-v\right).\tag{$\ 8\ $}\end{alignat*}また\[\omega=\frac{p_n\omega_n+p_{n-1}}{q_n\omega_n+q_{n-1}}\]から\[\omega_n=\frac{-\omega q_{n-1}+p_{n-1}}{\omega q_n-p_n},\]$\left(\ 8\ \right)$ に代入して\[\omega x-y=\left(p_n-\omega q_n\right)\left(\omega_nu-v\right).\tag{$\ 8^{\large*}$}\] よって問題は $\omega_nu-v$ の最小値を求めることに帰する．$u$，$v$ は整数値のみをとるのであるが，その値は $\left(\ 3\ \right)$ または $\left(\ 5\ \right)$ によって制限されている．
まず〔第一〕を証明する．
$u\leqq0$ とすれば，$0\lt x$ から，$\left(\ 7\ \right)$ によって $v\gt0$，したがって $v\geqq1$．故に\[\omega_nu-v\leqq-1.\tag{$\ 9\ $}\]すなわち\[\left|\ \!\omega_nu-v\right|\geqq1\]で，等号は $u=0$，$v=1$ のとき，すなわち $\left(\ 7\ \right)$ によって\[x=q_n,\hphantom{m}y=p_n\]のときに限って有効である．
また $u\gt0$ とすれば，$x\leqq A\lt q_{n+1}=q_{n-1}+k_nq_n$ から，$v\leqq k_n-1$，したがって\[\omega_nu-v\geqq\omega_nu-k_n+1\gt1.\] 故に $\left|\ \!\omega_nu-v\ \!\right|$ は $x=q_n$，$y=p_n$ のとき最も小さく，すなわち〔第一〕が証明されたのである．
〔第二〕$n$ が偶数なら $\left(\ 8^{\large*}\right)$ において $p_n-\omega q_n\gt0$，したがって $\omega x-y\gt0$ なるときは，$\omega_nu-v\gt0$．故にこの場合には $\left(\ 9\ \right)$ から見える通り，$u\leqq0$ ではあり得ない．さて $u\gt0$ とするとき，$\left(\ 5\ \right)$ によって\[x\leqq A\lt q_{n-1}+\left(\lambda+1\right)q_n.\]故に $\left(\ 7\ \right)$ から\[uq_{n-1}+vq_n\lt q_{n-1}+\left(\lambda+1\right)q_n,\]したがって $v\leqq\lambda$．故に\[\omega_nu-v\geqq\omega_n-\lambda.\]しかも等号は $u=1$，$v=\lambda$ のときに限る．すなわち $\left(\ 7\ \right)$ によって\[x=s,\hspace{1cm}y=r\]が $\omega x-y$ の最小値を与えるのである．