第 $8$ 章 行 列 式
$\S\ 55.$ 小行列式の行列式
$\boldsymbol{1.}$ 行列式\[A=\begin{vmatrix}\ a_{11}&a_{12}&\cdotp&a_{1n}\ \\[1mm]\ a_{21}&a_{22}&\cdotp&a_{2n}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{n1}&a_{n2}&\cdotp&a_{nn}\ \end{vmatrix}\]における $a_{pq}$ の余因子を $A_{pq}$ とし，$A_{pq}$ を組成分子として第二の行列式\[\boldsymbol{A}=\begin{vmatrix}\ A_{11}&A_{21}&\cdotp&A_{n1}\ \\[1mm]\ A_{12}&A_{22}&\cdotp&A_{n2}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ A_{1n}&A_{2n}&\cdotp&A_{nn}\ \end{vmatrix}\]を作る．ただし行列式 $\boldsymbol{A}$ においては $A_{pq}$ を第 $p$ 列第 $q$ 行におくのである．$A$，$\boldsymbol{A}$ の行列を結合すれば定理 $8.\ 8$ によって\[A\boldsymbol{A}=\begin{vmatrix}\ A&0&\cdotp&0\ \\[1mm]\ 0&A&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0&\cdotp&A\ \end{vmatrix}=A^n\]を得る．これを独立変数 $a_{11}$，$\cdots$，$a_{nn}$ の間の恒等式と見れば，両辺を恒等的には $0$ に等しくない $A$ で割ってさしつかえない．ゆえに\[\boldsymbol{A}=A^{n-1}\]$\boldsymbol{A}$ を $A$ の逆行列式という．〔定理 $\boldsymbol{8.\ 19}$〕 $n$ 次の行列式 $A$ の逆行列式は $A$ の $n-1$ 乗に等しい．
$\boldsymbol{2.}$ $\boldsymbol{A}$ を逆行列式というのは，次の理由に基づくのである．$\S\ 53.$ で述べたように，$A$ を一次変形\[(x)=A(y)\tag{$\ 1\ $}\]の係数の行列とする．もし $|A|\neq0$ ならば，この関係式を $(y)$ に関して解くことができる．その結果は\begin{alignat*}{1}&|A|\ \!y_1=A_{11}x_1+A_{21}x_2+\cdots+A_{n1}x_n\\[2mm]&|A|\ \!y_2=A_{12}x_1+A_{22}x_2+\cdots+A_{n2}x_n\\[2mm]&\ \cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\hphantom{nn}\cdotp\\[2mm]&|A|\ \!y_n=A_{1n}x_1+A_{2n}x_2+\cdots+A_{nn}x_n\end{alignat*}ゆえに $(y)$ を $(x)$ で表わすときの係数の行列を $A^{-1}$ で表わして\[(y)=A^{-1}(x)\tag{$\ 2\ $}\]とすれば，行列 $A^{-1}$ において第 $p$ 列，第 $q$ 行に $\dfrac{A_{pq}}{|A|}$ がある．$(\ 2\ )$ は $(\ 1\ )$ の逆の一次変形である．
もしも，行列 $A$ と $A^{-1}$ とを結合するならば，\[AA^{-1}=\begin{pmatrix}\ 1&0&\cdotp&0\ \\[1mm]\ 0&1&\cdotp&0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0&\cdotp&1\ \end{pmatrix}\tag{$\ 3\ $}\]を得る．右辺の正方行列は第一対角線上の組成分子が $1$ で，その他は $0$ である．このような行列を単位行列といい，それを $E$ で表わすことにする．
$E$ はすなわち恒等的一次変形\[x_1=y_1,\hphantom{m}x_2=y_2,\ \cdots,\ x_n=y_n\]の係数の行列である．ゆえにそれを恒等行列ともいう．一次変形の結合から明らかな通り，行列 $E$ を任意の行列 $B$ と結合するとき，結果は $B$ である．\[EB=BE=B.\]すなわち，行列の結合において，因子 $E$ はあたかも数の乗法における単位 $1$ と同様の性質をもつ．よって $E$ を単位行列というのである．
$(\ 1\ )$ における行列 $A$，$A^{-1}$ の順序を換えて結合しても，結果は単位行列である．\[AA^{-1}=A^{-1}A=E.\]よって $A$，$A^{-1}$ を互いに逆行列という．
定理 $8.\ 18$ によって行列式に移れば，\[|A|\hspace{0.7mm}\cdotp|A^{-1}|=1.\] ゆえに $|A|\neq0$ であるときに限って，逆の行列 $A^{-1}$ は可能である．
$|A|\neq0$ であるとき，$AX=E$ または $XA=E$ を満足させる行列 $X$ は $A^{-1}$ に限ることは明らかである（$\S\ 47$）．
行列 $\boldsymbol{A}$ は $A^{-1}$ ではないが，$|A|\neq0$ なる場合において，$\boldsymbol{A}$ の各組成分子を $|A|$ で割れば，$A^{-1}$ を得る．よって，やや不正確ながら，簡単のために，$\boldsymbol{A}$ を $|A|$ の逆の行列式というのである．
$|A|=0$ である場合には，$A$ の位が $n-1$ ならば，$\boldsymbol{A}$ の列（または行）は互いに比例する（$\S\ 50$，問題 $3$）．精確にいえば，$\boldsymbol{A}$ の位は $1$ である．$\boldsymbol{A}$ の位が $n-2$ 以下ならば，$\boldsymbol{A}$ の組成分子はもちろんすべて $0$ になる．
$\boldsymbol{3.}$ $A$ を $n$ 次の行列式，$\boldsymbol{A}$ をその逆行列式とする．
$1$，$2$，$\cdots$，$n$ の中から，$m$ 個の番号（$\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$）を取り出し，その残りの番号を（$\kappa$，$\rho$，$\cdots$，$\sigma$）とする．ただし双方とも大きさの順に並べたものと仮定する．同様に，$m$ 個の番号（$\alpha^\prime$，$\beta^{\ \prime}$，$\cdots$，$\lambda^\prime$）の残りを（$\kappa^\prime$，$\rho^\prime$，$\cdots$，$\sigma^\prime$）とする．
さて，逆行列式 $\boldsymbol{A}$ から $\alpha$，$\beta$，$\cdots$，$\lambda$ なる列と $\alpha^\prime$，$\beta^{\ \prime}$，$\cdots$，$\lambda^\prime$ なる行とを取って，$\boldsymbol{A}$ の $m$ 次の小行列式を作る．それは$\S\ 52$ の記号によれば\[\boldsymbol{A}^{(m)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\ \beta^{\ \prime}\ \cdots\ \lambda^\prime\\[0mm]\alpha\hphantom{^\prime}\ \beta\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \lambda\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}\]である．また一方において，原行列式 $A$ から残りの番号 $\kappa$，$\rho$，$\cdots$，$\sigma$ なる行と $\kappa^\prime$，$\rho^\prime$，$\cdots$，$\sigma^\prime$ なる列とを取って $n-m$ 次の小行列式\[A^{(n-m)}\begin{pmatrix}\kappa\hphantom{^\prime}\ \rho\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \sigma\hphantom{^\prime}\\[0mm]\kappa^\prime\ \rho^\prime\ \cdots\ \sigma^\prime\end{pmatrix}\]を作る．しからば次の定理が成り立つ．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 20}$〕 上の小行列式の間には次の関係がある．\[(-1)^{(\alpha+\beta+\ldots+\lambda)(\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime)}\boldsymbol{A}^{(m)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\ \beta^{\ \prime}\ \cdots\ \lambda^\prime\\[0mm]\alpha\hphantom{^\prime}\ \beta\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \lambda\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}=A^{m-1}\hspace{0.7mm}\cdotp A^{(n-m)}\begin{pmatrix}\kappa\hphantom{^\prime}\ \rho\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \sigma\hphantom{^\prime}\\[0mm]\kappa^\prime\ \rho^\prime\ \cdots\ \sigma^\prime\end{pmatrix}.\]左辺は逆行列式 $\boldsymbol{A}$ における小行列式 $\boldsymbol{A}^{(n-m)}\begin{pmatrix}\kappa^\prime\ \rho^\prime\ \cdots\ \sigma^\prime\\\kappa\hphantom{^\prime}\ \rho\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \sigma\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}$ の余因子である．
$m=1$ とすれば，左辺は $(-1)^{\alpha+\alpha^\prime}\boldsymbol{A}^{(1)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\\[0mm]\alpha\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}=(-1)^{\alpha+\alpha^\prime}A_{\alpha\alpha^\prime}$ になり，右辺では $A^{m-1}=1$ で，$A\begin{pmatrix}\kappa\hphantom{^\prime}\ \rho\hphantom{^\prime}\ \cdots\\[0mm]\kappa^\prime\ \rho^\prime\ \cdots\end{pmatrix}$ は $A$ の第 $\alpha$ 行第 $\alpha^\prime$ 列を削り去った $n-1$ 次の小行列式になる．これはすなわち $A_{\alpha\alpha^\prime}$ の定義にほかならない．
$m=n$ とすれば，左辺はすなわち逆行列式 $\boldsymbol{A}$ そのもので，右辺は $A^{n-1}$ になる．すなわち定理 $8.\ 19$ である．
〔証〕 行列式 $A$ の行と列との順序を\begin{alignat*}{1}&\style{font-family:serif}{\text{行は }}&\ &\alpha,&\ &\beta,&\ &\cdots,\ \lambda&\ &;\ \kappa,&\ &\rho,&\ &\cdots,\ \sigma\\[2mm]&\style{font-family:serif}{\text{列は}}&\ &\alpha^\prime,&\ &\beta^{\ \prime},&\ &\cdots,\ \lambda^\prime&\ &;\ \kappa^\prime,&\ &\rho^\prime,&\ &\cdots,\ \sigma^\prime\end{alignat*}に変えて，その行列式を $A^\prime$ とする．すなわち\[A^\prime=\left|\begin{array}{ccccc:cccc}\ a_{\alpha\alpha^\prime}&a_{\alpha\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\alpha\lambda^\prime}&a_{\alpha\kappa^\prime}&a_{\alpha\rho^\prime}&\cdotp&a_{\alpha\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ a_{\beta\alpha^\prime}&a_{\beta\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\beta\lambda^\prime}&a_{\beta\kappa^\prime}&a_{\beta\rho^\prime}&\cdotp&a_{\beta\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{\lambda\alpha^\prime}&a_{\lambda\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\lambda\lambda^\prime}&a_{\lambda\kappa^\prime}&a_{\lambda\rho^\prime}&\cdotp&a_{\lambda\sigma^\prime}\ \\[1mm]\hdashline\ a_{\kappa\alpha^\prime}&a_{\kappa\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\kappa\lambda^\prime}&a_{\kappa\kappa^\prime}&a_{\kappa\rho^\prime}&\cdotp&a_{k\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ a_{\rho\alpha^\prime}&a_{\rho\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\rho\lambda^\prime}&a_{\rho\kappa^\prime}&a_{\rho\rho^\prime}&\cdotp&a_{\rho\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{\sigma\alpha^\prime}&a_{\sigma\beta^{\ \prime}}&\cdotp&\cdotp&a_{\sigma\lambda^\prime}&a_{\sigma\kappa^\prime}&a_{\sigma\rho^\prime}&\cdotp&a_{\sigma\sigma^\prime}\ \end{array}\right|\]
| しからば | \[A^\prime=(-1)^{(\alpha+\beta+\ldots+\lambda)(\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime)}A.\hspace{1cm}\tag{$\ 4\ $}\] |
しからば\[A^\prime\boldsymbol{A}^\prime=\left|\begin{array}{ccccc:cccc}\ A&0&\cdotp&\cdotp&0&a_{\alpha\kappa^\prime}&a_{\alpha\rho^\prime}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ 0&A&\cdotp&\cdotp&0&a_{\beta\kappa^\prime}&a_{\beta\rho^\prime}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ 0&0&\cdotp&\cdotp&A&a_{\lambda\kappa^\prime}&a_{\lambda\rho^\prime}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\hdashline\ 0&0&\cdotp&\cdotp&0&a_{\kappa\kappa^\prime}&a_{\kappa\rho^\prime}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ 0&0&\cdotp&\cdotp&0&a_{\rho\kappa^\prime}&a_{\rho\rho^\prime}&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \end{array}\right|\tag{$\ 6\ $}\]すなわち $A^\prime\boldsymbol{A}^\prime$ における第 $1$，$2$，$\cdots$，$m$ 列では，第一対角線上に $A$ があるほかは全部 $0$ で，また第 $m+1$，$\cdots$，$n$ 列は $A^\prime$ の第 $m+1$，$\cdots$，$n$ 列と同じものである．
よって $(\ 5\ )$，$(\ 6\ )$ から\[A^\prime\hspace{0.7mm}\cdotp\begin{vmatrix}\ A_{\alpha\alpha^\prime}&A_{\beta\alpha^\prime}&\cdotp&A_{\lambda\alpha^\prime}\ \\[1mm]\ A_{\alpha\beta^{\ \prime}}&A_{\beta\beta^{\ \prime}}&\cdotp&A_{\lambda\beta^{\ \prime}}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ A_{\alpha\lambda^\prime}&A_{\beta\lambda^\prime}&\cdotp&A_{\lambda\lambda^\prime}\ \end{vmatrix}=A^m\begin{vmatrix}\ a_{\kappa\kappa^\prime}&a_{\kappa\rho^\prime}&\cdotp&a_{\kappa\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ a_{\rho\kappa^\prime}&a_{\rho\rho^\prime}&\cdotp&a_{\rho\sigma^\prime}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ a_{\sigma\kappa^\prime}&a_{\sigma\rho^\prime}&\cdotp&a_{\sigma\sigma^\prime}\ \end{vmatrix}\begin{matrix}\ \\[1mm]\ \\[1mm]\ \\[1mm].\end{matrix}\] ゆえに $(\ 4\ )$ から\[(-1)^{(\alpha+\beta+\ldots+\lambda)(\alpha^\prime+\beta^{\ \prime}+\ldots+\lambda^\prime)}\boldsymbol{A}^{(m)}\begin{pmatrix}\alpha^\prime\ \beta^{\ \prime}\ \cdots\ \lambda^\prime\\[0mm]\alpha\hphantom{^\prime}\ \beta\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \lambda\hphantom{^\prime}\end{pmatrix}=A^{m-1}\hspace{0.7mm}\cdotp A^{(n-m)}\begin{pmatrix}\kappa\hphantom{^\prime}\ \rho\hphantom{^\prime}\ \cdots\ \sigma\hphantom{^\prime}\\[0mm]\kappa^\prime\ \rho^\prime\ \cdots\ \sigma^\prime\end{pmatrix}\]すなわち上の定理の通り．
$\boldsymbol{4.}$ $n$ 次の行列式 $A$ から，$m$ 行 $m$ 列を取って $m$ 次の小行列式を作る．取った行の番号を大きさの順に $\alpha_1\lt\alpha_2\lt\cdots\lt\alpha_m$，列の番号を $\beta_1\lt\beta_2\lt\cdots\lt\beta_m$ として，その小行列式を\[A\begin{pmatrix}\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_m\\[0mm]\beta_1\beta_2\cdots\beta_m\end{pmatrix}\tag{$\ 7\ $}\]と書く．$1$，$2$，$\cdots$，$n$ から取り出したこのような番号の組合せは $\nu=\dbinom{n}{m}$ だけある．それらの組合せに $1$ から $\nu$ までの番号をつける．番号のつけ方は随意であるが，ここでは簡明のために，辞書式にする．
辞書式の順序というのは，まず各々の組合せを上のように大きさの順に書いて，第一の数字の小さい方を前，大きい方を後にする．第一の数字が同じならば，第二の数字の大小によって前後をきめる。以下同様である．たとえば $n=5$，$m=3$，$\nu=\dbinom{5}{3}=10$ とすれば，次の通り．\[\begin{array}{cccccccccc}(\ 1\ )\ &\ (\ 2\ )\ &\ (\ 3\ )\ &\ (\ 4\ )\ &\ (\ 5\ )\ &\ (\ 6\ )\ &\ (\ 7\ )\ &(\ 8\ )\ &\ (\ 9\ )\ &\ (\hspace{0.1em}10\hspace{0.1em})\ \\[2mm]1\hspace{0.2em}2\hspace{0.2em}3&1\hspace{0.2em}2\hspace{0.2em}4&1\hspace{0.2em}2\hspace{0.2em}5&1\hspace{0.2em}3\hspace{0.2em}4&1\hspace{0.2em}3\hspace{0.2em}5&1\hspace{0.2em}4\hspace{0.2em}5&2\hspace{0.2em}3\hspace{0.2em}4&2\hspace{0.2em}3\hspace{0.2em}5&2\hspace{0.2em}4\hspace{0.2em}5&3\hspace{0.2em}4\hspace{0.2em}5\end{array}\]（$\S\ 26,\ 2.\ 139$ 頁を参照）．
さて，$\nu$ 個の組合せの番号が定められたとして，$(\ 7\ )$ に取って組合せ\[(\ p\ )\hspace{7mm}\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_m\hspace{15mm}(\ q\ )\hspace{7mm}\beta_1\beta_2\cdots\beta_m\]が $p$ 番，$q$ 番であるとすれば，小行列式 $(\ 7\ )$ を\[A_{p,\ q}^{(m)}\]で示すことができる．そこでこれらの小行列式を $\nu$ 行 $\nu$ 列に配列して，$\nu$ 次の行列式が作られる．すなわち上の小行列式を第 $p$ 行，第 $q$ 列におくのである．この行列式（$m$ 次の誘導行列式）を\[A^{(m)}=\begin{vmatrix}\ A_{11}{}^{(m)}&A_{12}{}^{(m)}\ \cdots\ A_{1\nu}{}^{(m)}\ \\[1mm]\ A_{21}{}^{(m)}&A_{22}{}^{(m)}\ \cdots\ A_{2\nu}{}^{(m)}\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\hphantom{mm}\cdotp\ \\[1mm]\ A_{\nu1}{}^{(m)}&A_{\nu2}{}^{(m)}\ \cdots\ A_{\nu\nu}{}^{(m)}\ \end{vmatrix}\tag{$\ 8\ $}\]とする．またもとの行列式 $A$ における $A_{pq}{}^{(m)}$ の余因子を $\boldsymbol{A}_{pq}{}^{(m)}$ として，それを第 $q$ 行，第 $p$ 列において（転置）作られる $\nu$ 次の行列式を\[\boldsymbol{A}^{(m)}=\begin{vmatrix}\ \boldsymbol{A}_{11}{}^{(m)}&\boldsymbol{A}_{21}{}^{(m)}&\cdotp&\boldsymbol{A}_{\nu1}{}^{(m)}\ \\[1mm] \ \boldsymbol{A}_{12}{}^{(m)}&\boldsymbol{A}_{22}{}^{(m)}&\cdotp&\boldsymbol{A}_{\nu2}{}^{(m)}\ \\[1mm] \ \vdots&\vdots&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm] \ \boldsymbol{A}_{1\nu}{}^{(m)}&\boldsymbol{A}_{2\nu}{}^{(m)}&\cdotp&\boldsymbol{A}_{\nu\nu}{}^{(m)}\ \end{vmatrix}\tag{$\ 9\ $}\]とする．さて $A^{(m)}$，$\boldsymbol{A}^{(m)}$ の行列を結合すれば（定理 $8.\ 16$，定理 $8.\ 17$）\[A^{(m)}\boldsymbol{A}^{(m)}=\begin{vmatrix}\ A&0&\cdots&0\ \\[1mm]\ 0&A&\cdots&0\ \\[1mm]\ \cdotp&\cdotp&\cdotp&\cdotp\ \\[1mm]\ 0&0&\cdots&A\ \end{vmatrix}=A^\nu.\]これを独立変数 $a_{11}$，$\cdots$，$a_{nn}$ の間の恒等式と見れば，行列式 $A$ が分解不可能の多項式であることから\[\boldsymbol{A}^{(m)}=cA^\mu\tag{$10$}\]を得る．$c$ は定数，$\mu$ は正の整数である．
行列式 $A$ が $a_{11}$，$\cdots$，$a_{nn}$ の多項式として分解不可能であることは，$A$ が各行各列の文字に関して斉次一次であることから容易にわかるであろう．仮りに $B$ を $A$ の因子として，$B$ が $a_{pq}$ を含むとすれば，$B$ は $a_{p1}$，$\cdots$，$a_{pn}$ の斉次一次式で，したがって $a_{p1}$ を含むから，第 $1$ 列の文字 $a_{11}$，$\cdots$，$a_{n1}$ の斉次一次式，同様に第 $2$ 列，$\cdots$，第 $n$ 列の文字の斉次一次式でなければならない．すなわち $B$ は $A$ と一致する．
$(\ 10\ )$ において，指数 $\mu$ を定めるには，両辺の次数を比較すればよい．また定数因子 $c$ を定めるには，$A$ の組成分子に特別な値を与えて，両辺の値を比較すればよい．いま $a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=a$ とし，その他の $a_{pq}$ はすべて $0$ とする．すなわち $A$ をいわゆる対角線行列 $\hspace{-0.4em}\pmb{〔}a\pmb{〕}\hspace{-0.4em}$ とする．しからば $A=a^n$，$A_{pp}{}^{(m)}=a^m$，$A_{pq}{}^{(m)}=0$（$p\neq q$），$\boldsymbol{A}^{(m)}=a^{m\nu}$ だから，\[a^{m\nu}=ca^{n\mu}.\]ゆえに，$c=1$．$m\nu=n\mu$．\[\mu=\frac{m\nu}{n}=\frac{m}{n}\binom{n}{m}=\frac{m}{n}\frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m\ \!!}=\left(\begin{array}{r}n-1\\m-1\end{array}\right).\]よって次の定理を得る．
〔定理 $\boldsymbol{8.\ 21}$〕 $n$ 次の行列式 $A$ からの $m$ 次の小行列式の行列式 $A^{(m)}$ は $A$ の冪に等しい．その指数は $\left(\begin{array}{r}n-1\\m-1\end{array}\right)$ である．\[A^{(m)}=A^{\left(\begin{array}{r}n-1\\m-1\end{array}\right)}.\tag{$\ 11\ $}\] $\boldsymbol{5.}$ 定理 $8.\ 20$ において，行列式 $A$ の小行列式と，逆行列式 $\boldsymbol{A}$ のそれに対応する小行列式との間の関係を求めたのと全く同様の方法を，上の行列式 $A^{(m)}$ に施すことができる．
いま行列式 $A^{(m)}$ の $1$，$2$，$\cdots$，$\nu$ の行から $\mu$ 行を取って，それを番号順に $p_1\lt p_2\lt\cdots\lt p_\mu$ とし，その余りをやはり番号順に $p_1{}^\prime\lt p_2{}^\prime\lt\cdots\lt p^\prime{}_{\nu-\mu}$ とする．また $\mu$ 列の番号を $q_1\lt q_2\lt\cdots\lt q_\mu$，その余りを $q_1{}^\prime\lt q_2{}^\prime\lt\cdots\lt q^\prime{}_{\nu-\mu}$ とする，すなわち $p$ と $p^\prime$ とまた $q$ と $q^\prime$ と，いずれも合わせて $1$，$2$，$\cdots$，$\nu$ になるのである．さて $A^{(m)}$ から $p_1$，$p_2$，$\cdots$，$p_\mu$ 番の行と $q_1$，$q_2$，$\cdots$，$q_\mu$ 番の列とを取って作った $\mu$ 次の行列式を\[A^{(m)}\begin{pmatrix}p_1p_2\cdots p_\mu\\q_1q_2\cdots q_\mu\end{pmatrix}\]とし，余因子の行列式 $\boldsymbol{A}^{(m)}$ から，$q_1{}^\prime$，$q_2{}^\prime$，$\cdots$，$q^\prime{}_{\nu-\mu}$ 番の行と，$p_1{}^\prime$，$p_2{}^\prime$，$\cdots$，$p^\prime{}_{\nu-\mu}$ 番の列とを取って作った $\nu-\mu$ 次の小行列式を $^{\large*}\ $ここで $A$，$\boldsymbol{A}$ の肩についた $(m)$ は定理 $8.\ 20$ のとは違う．定理 $8.\ 20$ の関係式で $A$ と $\boldsymbol{A}$ との肩についたのは小行列式の次数を示すものであった．ここではその次数は行と列との番号 $\mu$，$\nu-\mu$ の数で示されている．\[\boldsymbol{A}^{(m)}\begin{pmatrix}q_1{}^\prime q_2{}^\prime\cdots q^\prime{}_{\nu-\mu}\\p_1{}^\prime p_2{}^\prime\cdots p^\prime{}_{\nu-\mu}\end{pmatrix}\]とすれば次の関係式が成り立つ．$\large*$\[(-1)^{\varSigma p+\varSigma q}\boldsymbol{A}^{(m)}\begin{pmatrix}q_1{}^\prime q_2{}^\prime\cdots q^\prime{}_{\nu-\mu}\\p_1{}^\prime p_2{}^\prime\cdots p^\prime{}_{\nu-\mu}\end{pmatrix}=A^{n(\nu-\mu)-m\nu}A^{(m)}\begin{pmatrix}p_1p_2\cdots p_\mu\\q_1q_2\cdots q_\mu\end{pmatrix}\tag{$12$}\]